Matematyka · klasa 7 · Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa
a² + b² = c²: jak obliczyć brakujący bok trójkąta prostokątnego.
To jedna z 481 lekcji w aplikacji Memospace. Pokazujemy tu całą jej notatkę, kartkę Zapamiętaj i pięć pytań. W aplikacji lekcję czyta na głos Synapsa, a pytania wracają w powtórkach.
Podstawa programowa: VIII.7, IX.2 — dotychczasowa podstawa programowa: rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z 14 lutego 2017 r. (Dz.U. 2017 poz. 356) ze zmianami z 2024 r. (Dz.U. 2024 poz. 996)
Tak ta lekcja wygląda w aplikacji
Dziecko przechodzi lekcję rozdział po rozdziale, a kartka Zapamiętaj rysuje się przy tym gałąź po gałęzi. Lekcji można też posłuchać. Potem odpowiada na pytania stuknięciem. Poniżej cała treść lekcji, do przeczytania razem.
Boki trójkąta
Trójkąt prostokątny ma kąt prosty, czyli 90°. Dwa boki, które go tworzą, to przyprostokątne a i b. Bok naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna c. Jest zawsze najdłuższym bokiem tego trójkąta.
Twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej: a² + b² = c². Kwadrat liczby to liczba pomnożona przez siebie: 3² = 9. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 i 4 ma przeciwprostokątną 5. Kwadraty na jego bokach mają pola 9, 16 i 25, a 9 + 16 = 25. Twierdzenie nosi imię Pitagorasa, greckiego uczonego z VI wieku p.n.e. Babilończycy znali tę zależność wcześniej.
Szukamy boku c
Dane: przyprostokątne a = 6 cm, b = 8 cm. Szukane: c. Wzór: c² = a² + b². Obliczenia: c² = 36 + 64 = 100. Wynik: c = √100 = 10 cm, bo 10 · 10 = 100. Wynik bywa niecałkowity: przyprostokątne 1 i 2 dają c² = 5, więc c = √5.
Szukamy przyprostokątnej
Gdy znasz przeciwprostokątną, odejmujesz kwadraty. Przeciwprostokątna ma 13 cm, a przyprostokątna 5 cm. Wtedy b² = 169 − 25 = 144, więc b = 12 cm. Wynik jest krótszy od 13 cm, tak jak powinien.
| Szukasz c | Szukasz a lub b | |
|---|---|---|
| Działanie | dodajesz kwadraty | odejmujesz kwadraty |
| Wzór | c² = a² + b² | b² = c² − a² |
| Przykład | 6 i 8, więc c = 10 | 13 i 5, więc b = 12 |
Zadania z życia
Drabina przy ścianie ma 5 m, a jej dół stoi 3 m od ściany. Drabina to przeciwprostokątna, więc sięga √(25 − 9) = 4 m. Przekątna prostokąta tworzy z bokami trójkąt prostokątny. Prostokąt 9 cm na 12 cm ma przekątną √225 = 15 cm.
Trójki pitagorejskie
W takich zadaniach pomagają trójki pitagorejskie, czyli liczby spełniające a² + b² = c²: 3, 4, 5 oraz 5, 12, 13.
Kartka Zapamiętaj
Cała lekcja na jednej stronie: mapa myśli z obrazkami i podpowiedzią, jak to zapamiętać. Po zakupie można ją pobrać z aplikacji jako kartkę A4 i wydrukować.
Sprawdź się
Jak nazywa się bok trójkąta prostokątnego leżący naprzeciw kąta prostego?
- Przeciwprostokątna
- Wysokość
- Podstawa
- Przyprostokątna
Pokaż odpowiedź
Przeciwprostokątna
Przyprostokątne to a i b, a przeciwprostokątna to c. Który wzór jest prawdziwy?
- a² + b² = c²
- a² + c² = b²
- a² · b² = c²
- a + b = c
Pokaż odpowiedź
a² + b² = c²
Na przyprostokątnych zbudowano kwadraty o polach 9 cm² i 16 cm². Jakie pole ma kwadrat na przeciwprostokątnej?
- 7 cm²
- 144 cm²
- 49 cm²
- 25 cm²
Pokaż odpowiedź
25 cm²
Który bok trójkąta prostokątnego jest zawsze najdłuższy?
- Przeciwprostokątna
- Krótsza przyprostokątna
- To zależy od trójkąta
- Dłuższa przyprostokątna
Pokaż odpowiedź
Przeciwprostokątna
Przyprostokątne mają 6 cm i 8 cm. Ile ma przeciwprostokątna?
- 100 cm
- 10 cm
- 48 cm
- 14 cm
Pokaż odpowiedź
10 cm
Zapamiętaj
- Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższa.
- a² + b² = c²: dodajesz kwadraty przyprostokątnych.
- Szukasz c: 6² + 8² = 100, więc c = 10.
- Szukasz przyprostokątnej: 13² − 5² = 144, więc b = 12.
- Na końcu pierwiastek: z c² = 25 wynika c = 5.
- Trójki pitagorejskie: 3, 4, 5 oraz 5, 12, 13.
Pozostałe lekcje są w aplikacji
W Memospace są wszystkie tematy klasy 7, z tego przedmiotu i z pozostałych. Aplikacja sama planuje powtórki, a rodzic widzi postępy.
Wypróbuj 7 dni za darmo